Bonsoir, J'ai vraiment besoin d'aide, je suis en première et je suis bloquée sur cet exercice de maths : On note f la fonction définie pour tout réel x par : f(
Question
J'ai vraiment besoin d'aide, je suis en première et je suis bloquée sur cet exercice de maths :
On note f la fonction définie pour tout réel x par : f(x) = (2x-1)e^-x.
On note C sa courbe représentative dans un repère orthogonal(o,i,j).
1) Calculer la fonction dérivée f' de la fonction f, puis démontrer que, pour tout réel x, f'(x) est du signe de (-2x+3).
2) Dresser le tableau de variation de la fonction f
3) Déterminer l'abscisse du point d'intersection de la courbe C avec l'axe des abscisse
4) Déterminer une équation de chacune des tangentes T1 et T2 à la courbe C aux points d'abscisse 3/2 et 1/2.
5) Tracer T1, T2 et la courbe C dans le repère (o,i,j)
6) Vérifier que, pour tout réel x, f(x) = -f'(x)+2e^-x
7) En déduire une fonction F telle que F'=f
F est une primitive de f.
Merci d'avance !!
1 Réponse
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1. Réponse croisierfamily
Réponse :
Explications étape par étape :
■ f(x) = (2x-1) exp(-x)
■ dérivée f ' (x) = (1-2x) exp(-x) + 2 exp(-x) = (3-2x) exp(-x)
cette dérivée est nulle pour x = 1,5
cette dérivée a bien le même signe que (3-2x) .
■ tableau demandé :
x --> -∞ 0 0,5 1,5 +∞
f ' (x) -> + 1,213 0 -
f(x) -> -∞ -1 0 0,44626 0
■ coordonnées du point C :
C = (0,5 ; 0 ) .
■ Tangente T2 au point C :
y = 1,213x - 0,6065 .
■ Tangente T1 au point S (1,5 ; 0,44626) :
y = 0,44626
( tangente horizontale ! )
■ -f ' (x) + 2 exp(-x) = (2x-3) exp(-x) + 2 exp(-x)
= (2x-1) exp(-x)
= f(x) vérifié !
■ primitive F(x) = (ax+b) exp(-x)
donne f(x) = a exp(-x) - (ax+b) exp(-x)
= (a-b - ax) exp(-x)
= (2x-1) exp(-x)
donc a = -2 et b = -1
d' où F(x) = (-2x-1) exp(-x) .
vérif :
f(x) = -2 exp(-x) + (2x+1) exp(-x) = (2x-1) exp(-x) .