Bonjour, pouvez-vous m'aider sur cet exercice s'il vous plait ? Dans un repère, d est la droite d’équation : 5x − 27y = 1 Le « premier point » à coordonnées ent

bjr

d est la droite d’équation : 5x − 27y = 1

« premier point » à coordonnées entières positives (11 ; 2)

1)

• puisque (11 ; 2) est une solution

  5x - 27y = 5*11 - 27*2

  5x - 5*11 = 27y - 27*2

 5(x - 11) = 27(y - 2)

• 5 divise le premier membre, il divise donc le second.

 5 divise le produit 27(y - 2), comme il est premier avec 27

 c'est un diviseur de y - 2

   =>  y - 2 = 5k

         y = 2 + 5k

• de même 27 est un diviseur de x - 11

  =>  x - 11 = 27k'

        x = 11 + 27k'

tout couple solution est de la forme :   (11 + 27k' ; 2 + 5k)   k et k' entiers

2)

réciproque

si y - 2 = 5k et x - 11 = 27k'

alors en remplaçant dans

5(x - 11) = 27(y - 2)

5*27k' = 27*5k

k = k'

les solutions de l'équation sont de la forme (11 + 27k ; 2 + 5k)

3)

on cherche les couples d'entiers positifs

k = 0                1er point (11 ; 2)

k = 1                 2e point  (11 + 27 ; 2 + 5)  soit  (38 ; 7)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

k = 2020         2021e point    :   (54 551 ; 10 102)  

coordonnées : 11 + 27*2020 = 54 551

                         2 + 5*2020 = 10 102