Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour cette exercice. Le plan est muni d’un repère orthonormé. On considère le point A(6 ; 2) et la droite d d’équation x – 2y + 8

Réponse :

d :  x - 2 y + 8 = 0

1) donner les coordonnées d'un vecteur directeur à d

            un vecteur directeur de  d  :  u(2 ; 1)  

2) déterminer une équation de la perpendiculaire à d passant par A

      x - 2 y + 8 = 0  ⇔ 2 y = x + 8  ⇔ y = 1/2) x + 8

     m * m' = - 1  ⇔ 1/2) * m' = - 1  ⇔ m' = - 2

    y = - 2 x + p

    2 = - 2*6 + p  ⇒ p = 14    donc  y = - 2 x + 14   ou bien  2 x + y - 14 = 0

on peut déterminer une équation perpendiculaire à d  en utilisant le produit scalaire des vecteurs u et v

soit  M(x ; y)  tel que vec(AM).vec(u) = 0  ⇔ XX' + YY' = 0

vec(AM) = vec(v) = (x - 6 ; x - 2)

(x - 6)*2 + (y - 2)*1 = 0  ⇔ 2 x - 12 + y - 2 = 0  ⇔ 2 x + y - 14 = 0

3) calculer les coordonnées de H projeté orthogonal de A sur d

4) calculer les coordonner de H projeté orthogonal de A sur d

  les droites d'équation  x - 2 y + 8 = 0  et 2 x + y - 14 = 0  sont perpendiculaire au point H  

y = 1/2) x + 4    

y = - 2 x + 14

1/2) x + 4 = - 2 x + 14    ⇔  1/2) x + 2 x = 10  ⇔ 5/2) x = 10  ⇔ x = 20/5 = 4

y = - 2*4 + 14 = 6

H(4 ; 6)

4) déterminer une équation du cercle (C) de centre A passant par H

       (x - 6)²+(y - 2)² = R²

R = AH    et vec(AH) = (4-6 ; 6-2) = (-2 ; 4) ⇒ AH² = (-2)² + 4² = 20

R² = 20

  (x - 6)²+(y - 2)² = 20

5) le cercle (C) coupe l'axe des abscisses en D et E, calculer les coordonnées des points D et E

(x - 6)² = 20  ⇔ (x - 6)² - (√20)² = 0  ⇔ (x - 6 + √20)(x - 6 - √20) = 0

⇔ x = 6 - √20 = 6 -2√5 ou  x = 6 +√20 = 6+2√5

il suffit de remplacer  x1 = 6 - 2√5  ⇒ y1    et  x2 = 6+2√5  ⇒ y2  

dans l'équation  (x - 6)² + (y - 2)² = 20    pour avoir les coordonnées de D et E

Explications étape par étape :