Bonjour j'aurais besoin d'aide sur ces questions pour un devoir de mathématiques svp c. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

c)

On veut montrer que la fonction f(x)=-(x+3/2)²+49/4 est croissante sur ]-∞;-3/2].

Soient :

a < b ≤ -3/2

a+3/2  < b+3/2 ≤ -3/2+3/2

a+3/2  < b+3/2 ≤  0

Sur ]-∞;0] la fonction carrée est décroissante , donc sur cet intervalle  :

A < B ≤ 0 ==> A² > B² , ce qui donne pour notre fonction :

(a+3/2)²  >  (b+3/2)²

On va multiplier les 2 membre  par "-1 ", ce qui oblige à changer > en < :

-(a+3/2)² < (b+3/2)²

Ajouter 49/4 ne change rien à l'inéquation :

-(a+3/2)² +49/4 < (b+3/2)² +49/4 soit :

f(a) < f(b)

Sur ]-∞;3/2],  on  est parti de a < b pour arriver à f(a) < f(b) , ce qui prouve que la fonction f(x) est strictement croissante sur cet intervalle.

d)

f(x)=-(x+3/2)²+49/4

f(x)-49/4=-(x+3/2)²

(x+3/2)² est toujours positif car c'est un carré ( ou est nul pour x=-3/2).

Donc :

-(x+3/2)² est toujours négatif  ( ou est  nul pour x=-3/2).

Donc :

f(x)-49/4 ≤ 0 ( et vaut zéro pour x=-3/2)

Donc :

f(x) ≤ 49/4 ( et vaut 49/4 pour x=-3/2)

Ce qui prouve que f(x) passe par un max qui est 49/4 obtenu pour x=-3/2.