Bonsoir, j'ai eu quelques difficulté à résoudre la question 1B dans l'exercice présent. J'aurais vraiment besoins d'aide, car cette question est cruciale pour l
Question
Exercice 2 : Sécurité routière
Lors d’une soirée, Arthur a bu à jeun une certaine quantité d’alcool. On s’intéresse à son taux d’alcool dans le sang, exprimé en g.L-1, en fonction du temps t, exprimé en heures.
Comme il faut un certain temps pour que le corps absorbe l’alcool, on peut modéliser son taux d’alcool par une fonction f définie sur [0,05; +[.
On admet que f est solution de l’équation différentielle (E) : y' = -y + ke(-t), où k est une constante positive qui dépend de la quantité d’alcool absorbée et de la corpulence de l’individu.
1) a) Exprimer, en fonction de k, le nombre réel a tel que la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g(t) = ate(-t) soit une solution particulière de (E).
b) En déduire l’expression de f(t) en fonction de k.
2) Etudier le sens de variation de la fonction f et vérifier qu’il ne dépend pas de k.
3) Au bout de 3 heures, Arthur teste son alcoolémie et obtient un taux égal à 0,8 g.L-1.
Sachant que Arthur est un jeune conducteur et que, selon la loi française, le taux maximal autorisé pour les jeunes conducteurs est de 0,2 g.L-1, combien de temps devra-t-il encore patienter pour pouvoir prendre le volant et rentrer chez lui ? On donnera un résultat à la minute près, on pourra utiliser la méthode par balayage pour trouver une valeur approchée du résultat.
1 Réponse
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1. Réponse broucealways
Explications étape par étape:
Bonsoir, idéalement il te faudrait indiquer tes réponses, ainsi que ton raisonnement pour le 1a. Autrement, cela oblige ceux qui veulent t'aider à résoudre les questions précédentes.
1a- Soit g définie sur [0 ; +infini[, solution particulière de E, telle que g(t) = ate(-t).
En premier lieu, g est derivable sur son ensemble de définition, et pour tout x € R+, g'(t) = a*[e(-t) - t*e(-t)] = a*e(-t) - g(t).
On injecte cette expression dans l'équation différentielle :
g' = -g + ke(-t), donc g' + g = ke(-t).
Ainsi : a*e(-t) - g(t) + g(t) = ke(-t).
On conclut que k = a.
1b- Ici, résolution classique d'une équation différentielle. Il faut résoudre l'équation homogène associée, soit Eh : f' + f = 0.
D'où f' = - f, il est alors évident que f(t) = z*exp(-t) est solution de l'équation, avec z un réel.
Par conséquent, l'ensemble des solutions de cette équation est constitué de la somme de la solution particulière, ainsi que celle de l'équation homogène.
Finalement : f(t) = z*exp(-t) + kte(-t) = z*exp(-t) + g(t) avec k € R+.
On peut vérifier : f'(t) = -z*exp(-t) + k*[e(-t) - t*e(-t)] = - z*exp(-t) + k*e(-t) - g(t).
Donc f'(t) + f(t) = - z*exp(-t) + k*e(-t) - g(t) + z*exp(-t) + g(t) = ke(-t).
Il ne faut surtout pas oublier que le but, c'est avant tout de résoudre l'équation différentielle, dont f est solution. Sachant que la solution d'une équation de degré 1 constitue toujours la somme de la solution particulière, ainsi que l'homogène, tu peux "prédire" qu'il y aura un lien entre les 2.
Bonne soirée