On considère la fonction f définie sur l'ensemble des réels par : f(x)=(-x2+1)ex On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (o;i;j) d'unité g

Réponse :

1) étudier le signe de f(x)

     f(x) = (- x² + 1)eˣ    or  eˣ > 0  donc le signe de f(x) dépend du signe de

- x² + 1

          x      - ∞             - 1             1               + ∞

     - x² + 1             -        0     +     0        -

f(x) ≥ 0  sur l'intervalle  [- 1 ; 1]

f(x) ≤ 0    //          //         ]- ∞ ; - 1]U[1 ; + ∞[

2)  a) déterminer f '(x)

         f(x) = (- x² + 1)eˣ ⇒ f '(x) =(uv)' = u'v + v'u

u = - x² + 1 ⇒ u' = - 2 x

v = eˣ   ⇒ v' = eˣ

f '(x) = - 2 xeˣ + (- x² + 1)eˣ

       = - 2 xeˣ - x²eˣ + eˣ

     f '(x) = (- x² - 2 x + 1)eˣ

    b) déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0

      y = f(0) + f '(0) (x - 0)

f(0) = 1

f '(0) = 1

y = 1 + x  (T)

3) sens de variation de f

  a) déterminer le signe de f '(x) puis les variations de f

 f '(x) = (- x² - 2 x + 1)eˣ   or  eˣ > 0  donc le signe de f '(x) dépend de

- x² - 2 x + 1

= - (x² + 2 x - 1)

= -(x² + 2 x + 1 - 1 - 1)

= -((x+1)² - 2) = - ((x+1)² - (√2)²) = - (x + 1 +√2)(x+1-√2)

   x  -∞          - 1-√2          -1+√2            + ∞

f'(x)          -          0       +       0         -

f '(x) ≥ 0  sur l'intervalle [-1-√2 ; -1+√2]  ⇒ f est croissante sur cet intervalle

f '(x) ≤ 0    //         //       ]-∞ ; -1-√2]U[-1+√2 ; + ∞[ ⇒ f est décroissante sur cette intervalle

Explications étape par étape :