Bonjour j'ai un DM à rendre pour demain je suis bloqué depuis un long moment sur cet exercice. Merci d'avance

Bonsoir Maria,

Les * représentent des signes de multiplication

1. La fraction bloque la progression, on va la casser en multipliant des 2 cotés par (x+8) :

[tex]\frac{x-4}{x+8}[/tex] * (x+8) > -1 * (x+8)

donc x-4 > -1 * (x+8)

        x-4 > -x - 8

On rassemble les x du même coté :

2x - 4 > -8

On fais passer le -4 de l'autre coté en additionnant des 2 côtés par 4 :

2x - 4 + 4 > -8 + 4

donc 2x > -4

donc x > -2

2. On va utiliser la même méthode :

[tex]\frac{x}{2x-10}[/tex]  [tex]\geq[/tex] 2

donc x [tex]\geq[/tex] 2 * (2x-10)

        x [tex]\geq[/tex] 4x - 20

On rassemble les x du même coté : (en soustrayant par 4x des 2 cotés)

x - 4x [tex]\geq[/tex] 4x - 20 - 4x

-3x [tex]\geq[/tex] -20

On divise par 3 :

-x [tex]\geq[/tex] [tex]\frac{-20}{3}[/tex]

on multiplie ensuite des 2 cotés par -1 pour obtenir x.

Attention, la multiplication par un nombre négatif implique un changement de signe !

x [tex]\leq[/tex] [tex]\frac{20}{3}[/tex]

3. Même méthode : On multiplie par (x-3) pour casser la fraction.

[tex]\frac{1-4x}{x-3}[/tex] < -4

1 - 4x < -4 * (x-3)

1 - 4x < -4x + 12

On rassemble les x (en additionnant des 2 cotés par 4x) :

1 - 4x + 4x < -4x + 12 + 4x

on obtient : 1 < 12.  

Autrement dit, cela est vrai pour tout x.

Donc [tex]\frac{1-4x}{x-3}[/tex] < -4 pour tout x ∈ R

En espérant que c'est suffisamment clair, n'hésites pas à redemander,

Bonne soirée