Pouvez vous m’aider à partir du 2b) svp? je comprends pas

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

2)

a)

g'(x)=2/x - 1/x²

g '(x)=(2x-1)/x²

Donc g '(x) est du signe de 2x-1.

2x-1 > 0 ==> x > 1/2

Variation :

x----->0.......................1/2....................+∞

g '(x)-->..........-............0............+.............

g(x)--->||.........D.........g(1/2)......C..........

g(1/2)=2ln(1/2)-1+2=2n(1/2)+1

g(1/2)=2[ln(1)-ln(2) ]+1

g(1/2)=1-2ln(2) ≈ -0.386

b)

Ce tableau prouve que g(x) passe par un minimum égal à 1-2ln2 pour x=1/2.

3)

Sur ]0;1/2] , g(x) tend vers +∞ quand x tend vers +∞ puis passe à une valeur négative pour x=1/2. Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) il existe un unique réel α sur cet intervalle tel que g(α)=0.

Sur [1/2;+∞[ , g(x) passe d'une valeur négative à une limite égale à +∞ quand x tend vers +∞. Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) il existe un unique réel β sur cet intervalle tel que g(β)=0.

4)

x--------->0....................α................β.....................+∞

g(x)------>...........+.........0........-.......0.........+.............

B)

5)

Donc :

f(x)=x²*ln(x)-x²+x

La fonction puissance impose sa limite par rapport à la fonction ln(x).

Quand x tend vers zéro :

On trouve une démonstration très longue avec changement de variable sur Internet en posant x=1/X.

sinon tu écris : la fonction puissance  de x impose sa limite par rapport à la fonction ln(x).

lim f(x)=0 -0+0=0

lim f(x) quand x tend vers +∞ :

f(x)=x²(ln(x)-1)+x

lim f(x)= (+∞)*(+∞)+∞=+∞

6)

f(α)=α²(ln(α)-1)+α

Mais g(α)=0 , ce qui donne :

2*ln(α)-1+1/α=0 soit :

2*ln(α)=1 - 1/α

ln(α)=1/2 -1/(2α) que l'on reporte dans f(α) :

f(α)=α²(1/2 - 1/(2α) - 1 ) +α

f(α)=α²/2 - α/2 -α² + α

f(α)=α²/2 - α/2 -2α²/2 + 2α/2

f(α)=α/2 - a²/2

f(α)=(α/2)(1-α)

7)

x²(lnx-1)  est de la forme u*v avec :

u=x² donc u'=2x

v=ln(x)-1 donc v'=1/x

u'v+uv'=2x(ln(x)-1) + x²/x=2x*ln(x)-2x+x=2x*ln(x)-x

Donc :

f '(x)=2x*ln(x)-x+1

Mais g(x)=2*ln(x)-1+1/x qui donne :

x*g(x)=x(2*ln(x)-1+1/x)

x*g(x)=2x*ln(x)-x+1

Donc :

f '(x)=x*g(x)

8)

On peut continuer et faire le tableau de variation de f(x) .

Sur ]0;+∞[ f '(x) est donc du signe de g(x) vu à la question 4).

x-------->0...................α................β..................+∞

f '(x)---->...........+........0.........-.......0..........+............

f (x)----->..........C........f(α)....D......f(β)......C........

C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.

Voir graphiques non demandés .

Cg en noir et Cf en rouge.